Francisco Santos: «Los matemáticos buscamos la verdad y la belleza»

Desde su discreto despacho de profesor en la Universidad de Cantabria, el nombre de Francisco Santos Leal suena entre los grandes matemáticos de la década. Ocurre desde que refutó la conjetura de Hirsch. “Demostré algo que muchos sospechaban antes que yo, y es que la conjetura era falsa”. Para probarlo, necesitó “encontrar” un poliedro de 43 dimensiones. Sí, 43. Los matemáticos se manejan en dimensiones mucho más frondosas que las que se permite la realidad del común de los mortales. Su generoso poliedro mostró que la conjetura de Hirsch, que forma parte de la historia de las matemáticas, tiene goteras imperdonables. ¿Por qué es tan importante? Esa conjetura sirve para explicar desde las matemáticas el método de Simplex. Para tener un poco más claro su alcance, en el año 2000, en la revista Computing in Science and Engineering, en un sección dedicada a Lo mejor del siglo XX, se publicó una lista con los 10 algoritmos más influyentes del siglo, y el Método del Simplex ocupaba el segundo lugar. Así que Francisco Santos Leal acaba de abrir un melón. Mostró que la conjetura de Hirch, que ayuda a explicarlo, es falsa. Este hallazgo es el que le ha dado un número en la Selección Española de Ciencia 2018. Pero lo más extraordinario es que esta entrevista no solo habla del Símplex, de poliedros, de algoritmos y conjeturas. Francisco Santos me habló de belleza, de montañas, de paisajes y hoteles de habitaciones infinitas.

P. Los astrofísicos buscan la materia oscura, los genetistas los genes responsables del cáncer, los físicos el ordenador cuántico… ¿Cuál es el fetiche de los matemáticos?

R: Yo diría que buscamos la verdad y la belleza, y la relación entre ambas. Suena muy filosófico pero creo que las motivaciones iniciales de un matemático son casi siempre estéticas. Luego, obviamente, uno busca que las cosas que hace sean útiles, no solo por satisfacción personal sino también porque si no uno no va a conseguir financiación para hacer su investigación, para tener estudiantes, etc. Pero también aquí cuando digo “útiles” quizá no quiero decir lo mismo que en otras disciplinas. A veces la utilidad es solo matemática, en el sentido de que un resultado de geometría puede resolver un problema que tenían en estadística, etc.

P. Conjeturas de Poincaré, Collatz, Fermat, Riemann, Hirsch… ¿Qué tienen las conjeturas que tanto gustan a los matemáticos?

R: Una respuesta es que las conjeturas atraen a los matemáticos simplemente “porque están ahí”, como las montañas a los montañeros. Son cosas que alguien un día afirmó que deben ser ciertas pero no consiguió demostrar. Por supuesto, no todas las conjeturas tienen la misma categoría, al igual que las montañas. Por un lado, ganan con el tiempo. Cuanto más antigua es la conjetura más gente ha intentado demostrarla, o refutarla, y por tanto tiene más valor. Pero también las conjeturas son más importantes si juegan un papel central en algún área. La de Riemann por ejemplo, ayudaría a entender mejor la distribución de los números primos, que es un problema matemático con más de dos mil años de antigüedad. La de Poincaré era un enunciado central en la teoría de variedades de dimensión tres y para su demostración se han inventado técnicas que forman hoy en día la base de todo ese área.

P. Y un día refutaste la de Hirsch… ¿Te rondaba en la cabeza, o fue algo espontáneo?

R: Es una historia larga. La conjetura de Hirsch era una de las más importantes dentro de mi área de trabajo, la teoría de poliedros y politopos, pero nunca me había planteado atacarla seriamente hasta 2008. En ese año empecé a pensar en ella por razones un tanto circunstanciales y tras más de un año dándole vueltas lo único que conseguí fue entender un poco mejor lo que otros habían intentado antes que yo. (Bueno, y también conseguí convencerme de que la conjetura seguramente era falsa, aunque yo creo que mucha otra gente para entonces también lo pensaba.) En ese momento lo que decidí hacer era plasmar todo lo que había aprendido en lo que se llama un “survey”, un artículo donde uno expone un tema de una manera un poco unificada e intentando ser exhaustivo en la bibliografía pero que no contiene resultados nuevos, más allá de alguna observación aquí y allá. Pero los problemas nunca te abandonan así que de vez en cuando seguía dándole vueltas hasta que un día de manera un poco inesperada me llegó la inspiración de cómo construir el contraejemplo.

P. ¿Esa conjetura explica uno de los “10 algoritmos del Siglo XX”, el método del Símplex, programación lineal….?

R: Para ser más preciso, la conjetura era un intento de explicar por qué ese algoritmo, el algoritmo del símplex, funciona tan bien como lo hace. No es que forme parte del algoritmo, sino más bien de cómo analizarlo y entenderlo. Volvemos aquí a lo de la montaña. El algoritmo en sí funciona perfectamente y se usa en multitud de empresas y laboratorios para resolver problemas de optimización que van desde la logística a la economía. Hay quien dirá que si funciona, para qué tocarlo. Pero como matemáticos, o como científicos, no nos basta con saber que algo funciona. Queremos saber por qué, en parte porque saber el por qué puede ayudar a otros avances, pero también en parte por pura curiosidad.

P: ¿Puedes explicármelo usando una metáfora?

R: Pensemos en un poliedro como un edificio donde las caras son habitaciones y las aristas son pasillos. Queremos ir de algún sitio a otro sitio del edificio por el camino más corto, el que recorra menos pasillos. La conjetura de Hirsch venía a decir que nunca va a ser necesario recorrer más pasillos que el número total de habitaciones, porque uno no espera tener que pasar dos veces por la misma habitación. Lo que yo encontré/construí es un poliedro en el que esto no ocurre. Cualquier camino necesita pasar más de una vez por algunas habitaciones, y necesita recorrer más pasillos que el número total de habitaciones.

P: Encontraste un poliedro que refutaba la conjetura de Hirsch. ¿Mandaste fabricarlo? ¿Existía previamente?

R: Uff, no. El primer ejemplo tiene 43 dimensiones y luego construí otro más pequeño de “solo” 20 dimensiones. En matemáticas no trabajamos habitualmente en el espacio tridimensional al que estamos acostumbrados ni en el espacio-tiempo cuatridimensional de los físicos, sino en espacios con un número arbitrario de dimensiones. Pero esto no es solo abstraer por abstraer. En el problema de Hirsch o, más bien, en el algoritmo del símplex, las “dimensiones” representan los diferentes parámetros de un problema. Si queremos optimizar una dieta con 20 ingredientes, estamos trabajando con un poliedro de 20 dimensiones. Si queremos gestionar los horarios de una compañía aérea con 2000 rutas cada semana necesitamos 2000 dimensiones.

Mi primer ejemplo era demasiado grande incluso para calcularlo con ordenador. Mis estimaciones son que tiene del orden de billones (12 ceros) de vértices y lo único que di en cierto modo es una receta para construirlo, y la demostración de que la receta funciona. El segundo ejemplo tenía solo 100.000 vértices y ese sí que está “construido” explícitamente en el ordenador, o sea hemos calculado las coordenadas de todos sus vértices.

P: ¿Puedes situar la importancia de tu descubrimiento desde la investigación internacional en matemáticas? Por qué es tan importante?

R: Esto en cierto modo les corresponde a los demás. Diré solo que era un problema famoso y con aplicaciones prácticas en optimización. Esto vuelve un poco a lo que dije al principio. Yo trabajo en teoría de poliedros, básicamente porque es lo que me gusta y lo que se me da bien. Pero dentro de eso, intento como todo científico que mi trabajo sea interesante al mayor número posible de colegas. Eso me lleva, en particular, a buscar problemas que aunque son de mi área sean interesantes para gente de otras áreas.

P: Cuéntame algún sueño tuyo que tenga que ver con las matemáticas, alguno que te haya tenido toda la noche entretenido.

R: ¡Uy! Esto ocurre muy a menudo. Las matemáticas son un poco obsesivas o, quizá, los/as matemáticos/as somos un poco obsesos. Me es muy habitual irme a la cama con un problema en la cabeza. Pero no es un “problema” en el sentido de “preocupación” sino más bien en el de “pasatiempo”. En vez de contar ovejas le damos vueltas a una demostración.

P: Tenemos el bosón de Higgs, el gato de Schrödinger y ¿cuál es el “bosón” de los matemáticos? ¿Tenéis algún “gato” que pueda explicarse con metáforas y sirva para chistes y series?

En los Simpson salen bastantes chistes matemáticos; por ejemplo, hay una escena en la que Homer sueña con un contraejemplo al teorema de Fermat (lo cual es imposible).