Las matemáticas de Hipatia

Estos son los dilemas matemáticos en los que participó Hipatia de Alejandría, y algunos enigmas clásicos de su época.

Los límites de la geometría

La geometría se convirtió en la principal y casi única rama de las matemáticas y en un modelo de lo que debían ser éstas a partir de la publicación, en torno a 300 a.C, de la obra Los Elementos de Euclides, considerada el principal y más influyente tratado matemático de todos los tiempos. La obra se inicia con la definición de cinco postulados a partir de los cuales se deberían poder elaborar las demostraciones necesarias para construir toda la geometría.

Los cinco postulados de Euclides:

1. Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
2. Es posible extender indefinidamente cualquier segmento de línea recta.
3. Es posible describir un círculo a partir de un centro y un radio cualesquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Desde un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una única recta paralela a la primera.

Los más insignes matemáticos griegos dedicaron gran parte de sus esfuerzos al estudio de esta obra y de esta disciplina; a determinar hasta dónde se podía llegar actuando de esta forma, dónde estaban los límites –si es que los tenia- de la geometría; a intentar resolver a través de ella los más diversos y complejos problemas. Y también a intentar averiguar si el controvertido quinto postulado o Postulado de las paralelas era en realidad indispensable como había propugnado Euclides o si, como muchos creían, se podía deducir a partir de los otros cuatro. Objetivo que no se alcanzó hasta el siglo XIX cuando por fin se probó que era independiente de los otros cuatro. Y una demostración que desembocó en el descubrimiento de la geometría no euclidiana.

Tres construcciones ¿imposibles?

La geometría pretendía que cualquier problema podía -y debía- ser resuelto sólo con el empleo de una regla sin graduar y un compás. Una imposición derivada de que los postulados de Euclides se refieren a las figuras básicas de la geometría plana (punto, recta, círculo y ángulo recto), que pueden construirse a partir de aquellos.

Así pues con estas dos únicas herramientas los matemáticos griegos afrontaron la tarea de resolver todo tipo de problemas. Entre ellos, tres que han pasado a la posteridad: la trisección del ángulo, esto es, dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La cuadratura de círculo, que plantea la construcción de un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado. Y la duplicación del cubo que exige construir a partir de un cubo, otro cuyo volumen sea el doble.

Si bien con el tiempo el segundo de ellos es el que ha merecido más atención, en gran medida debido a su íntima relación con el número Pi; en la Grecia antigua sin duda el más importante era el de la duplicación del cubo, con toda probabilidad por su origen de leyenda: al parecer, tras la muerte de Pericles en 429 a.C. Atenas se vio asolada por una plaga. Los atenienses se dirigieron al Oráculo de Delos para implorar una solución y éste señaló que la plaga finalizaría cuando honrasen a los dioses con un altar con el doble de volumen del ya existente, de forma cúbica.

Por mucho que lo intentaron, los matemáticos griegos no fueron capaces de resolverlos –al menos del modo en que exigía la geometría-. Un fracaso justificado porque se trata de tres construcciones imposibles a partir de una regla y compás. Algo que no obstante en ninguno de los tres casos fue probado hasta varios siglos después. El primero en 1837; el segundo en 1882 y el tercero en 1637, por Descartes. Lo que, conviene aclarar, no significa que no sean resolubles por otras vías. Sin ir más lejos, la solución de la duplicación del cubo está al alcance de cualquiera que haya estudiado –y recuerde- matemáticas en el colegio y teniendo en cuenta que el volumen de un cubo viene definido por L^3 ¿Verdad que sí?

Pero si bien los denodados e infructuosos esfuerzos de los matemáticos griegos no alcanzaron el objetivo final si que permitieron realizar numerosos progresos y descubrimientos.

Figuras cónicas

Uno de los descubrimientos propiciados por el afán de resolver los tres enigmas clásicos previos fue el de las figuras o secciones cónicas –las curvas que se generan por la intersección de un plano con un cono, tal y como se ilustra en la figura adyacente- y sus propiedades. Y de las cuáles los matemáticos griegos, sobre todo a raíz de la publicación de Las Cónicas de Apolonio, vislumbraron que contenían muchas de las claves que podían explicar muchos fenómenos naturales y entre los que destacaba el movimiento de los cuerpos celestes. Intuición que siglos más tarde puso de manifiesto Kepler en sus tres leyes, con su descripción de las órbitas planetarias como elipses y acto seguido certificó Newton en el enunciado de su ley de la gravedad: el que la fuerza de gravedad sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia implica que los cuerpos se tienen que mover en órbitas cónicas.

Además, y siguiendo la estela de Apolunio, aplicaron sus recientes descubrimientos sobre las figuras cónicas en problemas prácticos como la construcción de precisos instrumentos astronómicos.

Una de las más destacadas aplicaciones que de la geometría hicieron los griegos fue el estudio del movimiento de los distintos cuerpos celestes. Uno de los primeros, el mismo Apolunio, considerado uno de los fundadores de la astronomía y que aplicó modelos geométricos para explicar el movimiento planetario. Un campo en el que constituyó un hito fundamental la publicación del Almagesto de Ptolomeo una recopilación de todos los conocimientos astronómicos de la época que aplica la geometría para su análisis.

Y una disciplina en la que Hipatia jugo una activa y decisiva participación. Al ayudar a su padre en sus Comentarios a la obra tolemaíca, y al procesar los valores documentados por Ptolomeo, fue capaz de deducir nuevas conclusiones matemáticas que aquel no había constatado. Y que luego aplicó para elaborar las tablas de los movimientos de los astros que conforman su Canon astronómico, sobre el que se sustenta su fama como astrónoma.

Acertijo diofántico

La publicación, sobre 250 d.C. de la Aritmetica de Diofanto supuso una ruptura con la tradición geométrica dominante al recuperar la atención sobre la más antigua de las ramas matemáticas. En su obra, el matemático alejandrino recopilaba y ofrecía la solución para una colección de 130 problemas “concretos” o cuantitativos, -es decir, problemas de números- que resolvía mediante cálculo numérico. Y más importante aún, introducía una notación simbólica con la que representaba tanto las operaciones que efectuaba como las incógnitas a despejar y así plantear las ecuaciones que permitían resolverlos. Abriendo con ello el camino para el futuro desarrollo del álgebra y de la Teoría de los números.

Los problemas de la naturaleza de los que planteó Diofante, y que sólo admiten como respuesta números naturales, son conocidos hoy en día como problemas diofánticos.
Un buen –y sencillo- ejemplo lo constituye el denominado acertijo de la edad de Diofante y que al parecer estaba grabado a modo de epitafio en su tumba:

“Dios le concedió ser niño durante una sexta parte de su vida, y una duodécima parte de ella más tarde cubrió de vello sus mejillas; encendió en él la antorcha del matrimonio tras una séptima parte, y cinco años después le concedió un hijo. ¿Ay! Un chico de nacimiento tardío y enfermizo al que el frío destino se llevó cuando alcanzó la edad de la mitad de la vida total de su padre. Éste consoló su aflicción con al ciencia de los números durante los cuatro años siguientes, tras los cuales su vida se extinguió” ¿A qué edad murió?

En tanto que uno de los ejemplos más celebrados es el denominado Problema del rebaño de Arquímedes o Problema bovino –que no bobino

Redacción QUO