Los matemáticos de Múnich, Berlín y Carolina del Norte han construido dos superficies con forma de toro (donut) con las mismas medidas pero estructuras globales diferentes, resolviendo un problema del siglo XIX.
Imagina dos donuts que, si los mides por fuera centímetro a centímetro, son absolutamente idénticos: misma distancia entre cualquier par de puntos sobre la superficie, misma curvatura en cada lugar. Sin embargo, cuando los comparas en conjunto, resulta que son objetos distintos. Durante más de 150 años, los matemáticos asumían que esto era imposible. Un equipo internacional acaba de demostrar que no solo es posible, sino que existe un ejemplo concreto y explícito. Y ese ejemplo ha derribado una de las ideas fundacionales de la geometría diferencial.
La regla de Bonnet y sus límites ocultos
El principio que acaba de caer lleva el nombre del matemático francés Pierre Ossian Bonnet, que lo formuló en el siglo XIX. La idea es intuitiva: si conoces dos propiedades de una superficie compacta en cada uno de sus puntos (la métrica, que describe las distancias, y la curvatura media, que describe cómo se dobla la superficie en el espacio), entonces conoces exactamente su forma. Es decir, esas dos medidas locales determinan unívocamente la figura global.
Tras muchos años de investigación, ha sido posible, por primera vez, encontrar un caso concreto que demuestre que, incluso en el caso de superficies cerradas con forma de rosquilla, los datos de medición locales no determinan necesariamente una única forma global. Imagen: SFB/Transregio 109
Los matemáticos sabían que la regla tenía excepciones, pero solo en superficies no compactas: aquellas que se extienden hasta el infinito, como un plano, o que tienen bordes. Para las superficies cerradas y finitas, como las esferas, la regla de Bonnet se consideraba válida. Para los toros (la familia de superficies con forma de donut) había sospechas de que podría fallar, y trabajos anteriores habían demostrado teóricamente que un mismo conjunto de medidas locales podría corresponder a hasta dos formas globales distintas. Pero nadie había construido nunca ese par.
Miden lo mismo pero no son iguales
El equipo formado por Alexander Bobenko y Tim Hoffmann (Universidad Técnica de Múnich), y Andrew Sageman-Furnas (Universidad Estatal de Carolina del Norte) ha llenado ese vacío. Tras años de investigación, han construido explícitamente dos toros (dos superficies cerradas con forma de donut, aunque parece que han sufrido algunas deformaciones) que tienen exactamente la misma métrica y la misma curvatura media en cada punto, pero cuyas estructuras globales son distintas. Son los llamados «pares de Bonnet compactos».
Aunque la métrica —es decir, las distancias a otros puntos de la superficie— y la curvatura media son iguales en todos los puntos de la superficie de estos cuerpos complejos con forma de rosquilla, sus estructuras globales son, en realidad, diferentes. Los investigadores llevaban décadas buscando un par así | Fuente: comunicado de prensa de la Universidad Técnica de Berlín; Imagen: SFB/Transregio 109
«Después de muchos años de investigación, hemos conseguido por primera vez encontrar un caso concreto que demuestra que incluso para superficies cerradas con forma de donut, los datos de medición local no determinan necesariamente una única forma global», explicó Hoffmann, catedrático de Topología Aplicada y Computacional en la TUM. El resultado, publicado en Publications Mathématiques de l’IHÉS, resuelve un problema abierto en geometría diferencial que llevaba décadas esperando respuesta.
¿Por qué importa que dos donuts sean distintos a pesar de parecer iguales?
La pregunta que puede surgir es obvia: ¿qué relevancia práctica tiene saber que dos superficies matemáticas abstractas son distintas aunque sus medidas locales coincidan? La respuesta está en los fundamentos mismos de cómo entendemos la geometría y el espacio.
La geometría diferencial es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las curvas y superficies mediante el cálculo. Sus herramientas son las que utiliza la Relatividad General de Einstein para describir la curvatura del espacio-tiempo. La idea de que las medidas locales (lo que un observador ve en su entorno inmediato) determinan la forma global del espacio es una hipótesis profunda con implicaciones en física teórica, en el diseño de materiales y en la geometría computacional. Demostrar que esa hipótesis tiene excepciones, aunque sean casos extremos, obliga a revisar en qué condiciones exactas se puede confiar en ella.
Un problema resuelto, una puerta abierta
El hallazgo cierra una pregunta centenaria pero abre otras. Los matemáticos saben ahora que existen pares de Bonnet compactos, pero no saben cuántos ni cómo de comunes son entre las distintas familias de superficies. Tampoco está claro si el fenómeno tiene análogos en dimensiones superiores, es decir, si en espacios de cuatro o más dimensiones pueden darse objetos equivalentes: idénticos cuando los miras por partes, distintos cuando los ves enteros.
Por el momento, dos donuts matemáticamente engañosos han bastado para sacudir los cimientos de una disciplina. Y para recordar que en matemáticas, como en tantos otros ámbitos, lo que parece evidente puede llevar ciento cincuenta años siendo simplemente una conjetura muy bien vestida.
REFERENCIA
